解答题

全国卷Ⅰ(文)

2004年

21．（本小题满分12分）

设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异

两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点

在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。

 解答

2005年

（21）（本大题满分12分）

设正项等比数列的首项，前n项和为，且

（Ⅰ）求的通项；

（Ⅱ）求的前n项和

解答

2006年

（21）（本小题满分12分）

设P是椭圆+y=1（a＞1）短轴一个端点，Q为椭圆上的一个动点，

求的最大值.

  解答

2007年

（21）（本小题满分12分）

设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

解答

全国卷Ⅱ(文)

2004年

21．（本小题满分12分）

       若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间

（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.

解答 

2005年

（21）（本小题满分14分）

设为实数，函数．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．

解答

2006年

(21）（本小题满分为1４分）

设，函数若的解集为A，

，求实数的取值范围。

解答

2007年

21．（本小题满分12分）

在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，

求的取值范围．

解答

全国卷Ⅲ(文)

2004年

21．（本小题满分12分）三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，

（1）求证：AB ⊥ BC； 

（2）设AB=BC=，求AC与平面PBC所成角的大小.　

解答

2005年

(21) (本小题满分12分)

用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去

一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为

多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

解答

全国卷Ⅳ(文)

2004年

21．（本小题满分12分）

   如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，

侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；

（Ⅱ）证明PA⊥BD.

解答

北京卷(文)

2004年

（19）（本小题满分12分）

    某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=15km，BC=3km，在列车运行

时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时

12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，

并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表

上相应时间之 差的绝对值称为列车在该站的运行误差。

    （I）分别写出列车在B、C两站的运行误差

    （II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围

     解答

2005年

（19）（本小题共14分）

    已知函数．

  (I)求的单调递减区间；

  (Ⅱ)若在区间[一2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

解答

2006年

(19)(本小题共14分)

椭圆C：=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且

PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=，|PF₂|=.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B

关于点M对称，求直线l的方程.

 解答

2007年

19．（本小题共14分）

如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程

为点在边所在直线上．

（I）求边所在直线的方程；

（II）求矩形外接圆的方程；

（III）若动圆过点，且与

矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

解答

天津卷(文)

2004年

21.（本小题满分12分）

已知函数是R上的奇函数，当时取得极值。

（1）求的单调区间和极大值；

（2）证明对任意，，不等式恒成立。

解答

2005年

(21)(本小题满分14分)

已知mÎR，设P：和是方程的两个实根，不等式

 对任意实数Î[-1,1]恒成立；

Q：函数在(－¥,+¥)上有极值

 求使P正确且Q正确的m的取值范围

解答

2006年

（21）（本小题满分14分）

已知数列{x_n}满足x₁=x₂=1，并且

（为非零参数，n=2，3，4，…）.

(Ⅰ)若x₁、x₃、x₅成等比数列，求参数λ的值；

(Ⅱ)设0＜＜1，常数k∈N^*且k≥3，证明

+…+＜(n∈N^*).

解答

2007年

（21）（本小题满分14分）

设函数（），其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对

任意的恒成立．

解答

上海卷(文)

2004年

21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分

  如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上

的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.

(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)     证明：P-ABC为正四面体；

(2)     若PD=PA, 求二面角D-BC-A的

大小；(结果用反三角函数值表示)

(3)     设棱台DEF-ABC的体积为V, 是

否存在体积为V且各棱长均相等的直

平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC

有相同的棱长和? 若存在,请具体构造

出这样的一个直平行六面体,并给出证

明；若不存在,请说明理由.

  解答

2005年

21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，

第3小题满分6分

已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4.且位于轴上

方的点，A到抛物线准线的距离等于5过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M

（1）求抛物线方程；

（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；

（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴

上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系

解答

2006年

21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第4小题满分4分.第2小题满分5分，

第3小题满分7分.

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为

F（-，0）.且右顶点为D（2，0），设点A的坐标是（1，）.

(1)求该椭圆的标准方程.

(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；

(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C.求△ABC面积的最大值.

解答

2007年

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，

第3小题满分9分．

如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，

，即（），我们称其为“对称数列”．

例如，数列与数列都是“对称数列”．

（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．

依次写出的每一项；

    （2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的

等比数列，求各项的和；

    （3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的

等差数列．求前项的和．

解答

辽宁卷（文）

2004年

21．（本小题满分14分）

已知函数的最大值不大于，又当

   （1）求a的值；

   （2）设

 解答

2005年

21．（本小题满分14分）

已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），

Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，

并且满足

   （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

   （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

   （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，

         使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2

         的正切值；若不存在，请说明理由.

解答

2006年（文）

21．（本小题满分12分）

已知函数，，

其中，设为的极小值点，为的极值点，，

并且，将点依次记为．

（1）求的值；

（2）若四边形为梯形且面积为1，求的值．

解答

2007年

21．（本小题满分14分）

已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，

设圆是的内接圆（点为圆心）

（I）求圆的方程；

（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别

作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

解答

江苏卷

2004年

21.已知椭圆的中心在原点，离心率为  EQ \F(1,2) ，一个焦点是F（-m,0）

(m是大于0的常数).    

(Ⅰ)求椭圆的方程；

   (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，

求直线的斜率.

 解答

2005年

23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分）

设数列的前项和为，已知，且

    ，其中A.B为常数

  ⑴求A与B的值；

  ⑵证明：数列为等差数列；

  ⑶证明：不等式对任何正整数都成立

解答

2006年

（21）（本小题满分14分）

设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），

证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）

解答

2007年

21．（本题满分16分）

已知是不全为零的实数，函数，．

方程有实数根，且的实数根都是的根；反之，

的实数根都是的根．

（1）求的值；（3分）

（2）若，求的取值范围；（6分）

（3）若，，求的取值范围．（7分）

解答

浙江卷(文)

2004年

（21）（本题满分12分）

已知a为实数，

（Ⅰ）求导数；

（Ⅱ）若，求在[--2，2] 上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。

解答

2005年

19．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴A1A2的长为4，

左准线与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．

   (Ⅰ)求椭圆的方程；

   (Ⅱ)若点P在直线上运动，求∠F1PF2的最大值．

    解答

    2006年

(19)如图，椭圆 (a＞b＞0)与过点A(2，0)、B(0，1)的直线有

且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=

    (Ⅰ)求椭圆方程；

    (Ⅱ)设F_l、F₂分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|²=|AF₁|·|AF₂|．

解答

2007年

22．（本题15分）已知．

（I）若，求方程的解；

（II）若关于的方程在上有两个解，求的取值范围，

并证明．

解答

福建卷(文)

2004年

21．（本小题满分12分）

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P并与抛物线C在

点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q.

（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；

（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，

并求点M到x轴的最短距离.

            解答

2005年

21．（本小题满分12分）

  如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，

  F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

  （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

  （Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

  （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

     解答

     2006年

（21）（本小题满分12分）

       已知是二次函数，不等式的解集是且在

区间上的最大值是12。

       （I）求的解析式；

       （II）是否存在实数使得方程在区间内

有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

2007年

21．（本小题满分12分）

数列的前项和为，，．

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）求数列的前项和．

解答

湖北卷(文)

2004年

21．（本小题满分12分）

为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施

可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的

概率（记为P）和所需费用如下表：

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超

过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.

 解答

2005年

21．（本小题满分12分）

      某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯

    能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，

    寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换

    已坏的灯泡，平时不换

   （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

   （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡

    的概率；

   （Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡

    的概率（结果保留两个有效数字）

解答

2006年

20（本小题满分13分）

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，）（n∈N^*）均在函数y=3x-2的图像上。

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜对所有n∈N^*都成立的最小正整数m。

解答

2007年

20．（本小题满分13分）

已知数列和满足：，，，（），

且是以为公比的等比数列．

（I）证明：；

（II）若，证明数列是等比数列；

（III）求和：．

 解答

湖南卷(文)

2004年

21．（本小题满分12分）

如图，已知曲线C₁：y=x³(x≥0)与曲线C₂:y=－2x³+3x(x≥0)交于O，A,

直线x=t(0<t<1)与曲线C₁,C₂分别交于B，D.

（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);

（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.

                         解答

2005年

20．（本小题满分14分）

某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界

3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

   （Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；

   （Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率

解答

2006年

20．(本小题满分14分)

    在m(m≥2)个不同数的排列p₁p₂…p_m中，若1≤i＜j≤m时p_i＞p_j (即前面某数大

于后面某数)，则称与构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆

序数．记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为，如排列21的逆序数=1，排列321的逆

序数=3，排列4321的逆序数=6．

    (Ⅰ)求、，并写出的表达式；

(Ⅱ)令=,证明  2n＜++…+＜2n+3， n=1，2，…．

解答

2007年

20．（本小题满分13分）

设是数列（）的前项和，，且，，．

（I）证明：数列（）是常数数列；

（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中

的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．

解答

广东卷（文）

2004年

21. (12分)设函数   其中常数m为整数.

 (1) 当m为何值时,

 (2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少

存在一点x₀∈(a,b),使g(x₀)=0.

 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,

在[e^-ｍ-m ,e^2ｍ-m ]内有两个实根.

  解答

2005年

19．（本小题满分14分）

设函数，

且在闭区间[0，7]上，只有

   （Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

   （Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.

解答

2006年

19．（本小题满分14分）

已知公比为q(0＜q＜1)的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比

数列{a_n²}各项的和为。

（Ⅰ）求数列{a_n}的首项a₁和公比q：

（Ⅱ）对给定的k(k=1,2,…,n),设T^{k}是首项为a_k，公差为2a_k-1的

等差数列，求数列T^{2}的前10项之和：

（Ⅲ）设b_i为数列的第i项，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求s_n，并求正整数

m(m＞1),使得存在且不等于零。

（注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限）

解答

2007年

20．（本小题满分14分）

已知函数，是方程的两个根，是的导数．

设，．

（1）求的值；

（2）已知对任意的正整数有，记．

求数列的前项和．

解答

重庆卷(文)

2004年

21．（本小题满分12分）

设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异

两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点

在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。

2005年

21．（本小题满分12分）

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为

   （1）求双曲线C的方程；

   （2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

（其中O为原点）. 求k的取值范围.

     解答

     2006年

（21）（本小题满分12分）

已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数.

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)若对任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，

求k的取值范围.

解答

2007年

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如题21图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，

且与抛物线交于两点．

（Ⅰ）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；

（Ⅱ）若为锐角，作线段的垂直平分线

交轴于点，证明为定值，

并求此定值．

解答

山东卷(文)

2005年

(21) （本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，

且

（I）证明数列是等比数列；

（II）令，求函数在点处的导数

解答

2006年

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点

所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，

求直线l的方程.

解答　　　　

2007年

21．（本小题满分12分）

       设函数，其中．

       证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有

一个极值点，并求出极值．

解答

江西卷(文)

2005年

21．（本小题满分12分）

如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.

   （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

   （2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.

解答

2006年

21．(本小题满分12分)

如图，椭圆Q：=1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，过点F的一动直线m

绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点．

    (1)求点P的轨迹H的方程；

    (2)若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ,b²=sinθ(0＜θ≤).

    设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N.当θ为何值时，△MNF为—个正三角形?

解答

2007年

21．（本小题满分12分）

设为等比数列，，．

（1）求最小的自然数，使；

（2）求和：．

解答

陕西卷(文)

2006年

（21）（本小题满分为１2分）

如图，三定点三动点D、E、M满足

       （I）求动直线DE斜率的变化范围；

       （II）求动点M的轨迹方程。

解答

2007年

21．（本小题满分12分）

已知在区间上是增函数，在区间上是减函数，

又．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若在区间上恒有成立，求的取值范围．

解答

四川卷(文)

2006年

（21）（本大题满分12分）

     已知函数，其中是的导函数

（Ⅰ）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与

直线只有一个公共点

 解答

2007年

（21）(本小题满分12分)

求F1、F2分别是横线的左、右焦点.

（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；

（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角

（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.

解答

安徽卷(文)

2006年

（21）（本大题满分12分）在等差数列中，，前项和满足

条件，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和。

解答

2007年

20．（本小题满分14分）

设函数，，

其中，将的最小值记为．

（I）求的表达式；

（II）讨论在区间内的单调性并求极值．

解答

海南宁夏卷(文)

2007年

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率

为的直线与圆相交于不同的两点．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；

如果不存在，请说明理由．

解答