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14.1.3空间向量的基本定理<-->14.2.1空间直角坐标系
空间向量数量积运算
Ⅰ、空间向量数量积的概念：
⑴概念：已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做与的数量积(或内积)。记作 ，即
 。
其中θ是与的夹角，向量夹角的范围是0°≤θ≤180°。
 叫做向量 在 方向上(或 在 方向上)的投影。
如图为两向量数量积的各种关系：
⑵概念说明：
1o 零向量与任一向量的数量积为0，即 。
2o 符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“ ”代替。
3o 当0≤θ< 时，cosθ>0，从而 ；当<θ≤π时，cosθ<0，从而 ；当θ=时，cosθ=0，从而 。
Ⅱ、空间向量数量积的几何意义：
向量的数量积的几何意义为数量积等于 的长度与 在 方向上投影 的乘积。
Ⅲ、空间向量数量积的运算性质：
设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量，则
⑴ ；
⑵ ；
⑶当 与 同向时， ；当与反向时， ；
特别地 或 ；
⑷  ；
⑸  。
Ⅳ、空间向量数量积的运算律：
设向量 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
⑴ (交换律)；
⑵ (数乘结合律)；
⑶ (分配律)。
Ⅴ、空间向量数量积的坐标表示：
设 ，则
 。
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
空间向量数量积运算的应用
⑴求证垂直：求证两直线垂直转化为求证两直线的方向向量垂直。
若设两直线的方向向量分别为 ，则
⑵求向量的模：若 ，则
 。
⑶求两直线的夹角：求两直线的夹角转化为求两直线的方向向量的夹角。
若设两直线的方向向量分别为 ，则
 。
⑷求两点间的距离：求两点间的距离转化为求以这两点为始终点的有向线段的长度，即求向量的模。
若 ，则
 。
⑸求平面的法向量：
1o 平面的法向量：如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量。
2o 求平面的法向量：
设非零向量 ，使得 ， 不共线，若非零向量 为平面 的法向量，则
 。
解得  ，
令 （ , 可取使 尽量简单的常数值），则法向量
 。
⑹求空间点面距离：
如图，设平面 的法向量 及平面上一点A，则点P到
平面的距离d为
 。
用向量方法求点面距离的特点是不要作垂线，不要求找到垂足就可以求得点面距离。
⑺求线面所成的角：
设直线L的方向向量为 平面的法向量为 ，向量 与 的夹角为 ，直线L与平面所成的角为 ，则 ，
 。
⑻求空间二面角：
设平面α的法向量为 ，平面β的法向量为 ，向量 所成的角为 ，
若 ，
则
 。
那么二面角 的大小为或 ，视具体情况而定（如图）。
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