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高考数学必做百题第89题（理科2017版）

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089. （2016北京理18）设函数 $f(x)=x{{a}^{a-x}}+bx$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为 $y=(e-1)x+4$ 。

（1）求

$a,b$ 的值；

（2）求

$f(x)$ 的单调区间。

解：（1）∵

$f(x)=x{{\text{e}}^{a-x}}+bx$

∴

${f}'(x)={{\text{e}}^{a-x}}-x{{\text{e}}^{a-x}}+b=(1-x){{\text{e}}^{a-x}}+b$

∵曲线

$y=f(x)$ 在点

$(2,f(2))$ 处的切线方程为

$y=(\text{e}-1)x+4$

∴

$f(2)=2(\text{e}-1)+4$ ，

${f}'(2)=\text{e}-1$

即

$f(2)=2{{\text{e}}^{a-2}}+2b=2(\text{e}-1)+4$

${f}'(2)=(1-2){{\text{e}}^{a-2}}+b=\text{e}-1$ ②

由①②解得：

$a=2$ ，

$b=\text{e}$

（2）由（1）可知：

$f(x)=x{{\text{e}}^{2-x}}+\text{e}x$ ，

${f}'(x)=\left( 1-x \right){{\text{e}}^{2-x}}+\text{e}$

令

$g(x)=(1-x){{\text{e}}^{2-x}}$ ，

∴

${g}'(x)=-{{\text{e}}^{2-x}}-(1-x){{\text{e}}^{2-x}}=(x-2){{\text{e}}^{2-x}}$

$x$	$\left( -\infty ,2 \right)$	$2$	$\left( 2,+\infty \right)$
${g}'(x)$		$0$	$+$
$g(x)$	$\searrow$	极小值	$\nearrow$

∴

$g(x)$ 的最小值是

$g(2)=(1-2){{\text{e}}^{2-2}}=-1$

∴

${f}'(x)$ 的最小值为

${f}'(2)=g(2)+\text{e}=\text{e}-1>0$

即

${f}'(x)>0$ 对

$\forall x\in \mathbf{R}$ 恒成立

∴

$f(x)$ 在

$\left( -\infty ,+\infty \right)$ 上单调递增，无减区间.

考点：导数的应用.

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