高考数学必做百题第66题(理科2017版)<-->高考数学必做百题第68题(理科2017版)
067.如图,四棱锥S−ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点。
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。
(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,则
AC⊥BD。
∵四棱锥S−ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,
∴四棱锥S−ABCD是正四棱锥,
∴SO⊥平面ABCD。
以O为坐标原点,→OB, →OC, →OS分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图的空间直角坐标系。
设底面边长为a,则高SO=√62a,于是
S, D, B,C,
∴→OC=(0,√22a,0),→SD=(−√22a,0,−√62a),
∵→OC⋅→SD=0,∴OC⊥SD,从而AC⊥SD。
(2)解:设棱SC上存在一点E,使BE//平面PAC。理由如下:
∵SD⊥平面PAC,∴→DS是平面PAC的一个法向量,
又→DS=0(√22a,0,√62a),
→CS=(0,−√22a,√62a),
→BC=(−√22a,√22a,0)。
设→CE=t→CS,则
→BE=→BC+→CE=→BC+t→CS
=(−√22a,−√22a(1−t),√62at),
∵BE//平面PAC,∴→BE⋅→DS=0,
即−12a2+32a2t=0,解得t=13。
∴当SE:EC=2:1时,→BE⊥→DS。
又BE不在平面PAC内,∴BE//平面PAC。
高考数学必做百题第66题(理科2017版)<-->高考数学必做百题第68题(理科2017版)
全网搜索"高考数学必做百题第67题(理科2017版)"相关
|