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高考数学必做百题第67题(理科2017版)

 067.如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点。

(1)求证:ACSD
(2)若SD平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。
(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,则
ACBD
∵四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,
∴四棱锥SABCD是正四棱锥,
∴SO⊥平面ABCD。
以O为坐标原点,OB, OC, OS分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图的空间直角坐标系。
 W067-2.png
设底面边长为a,则高SO=62a,于是
S, D, B,C,
OC=(0,22a,0)SD=(22a,0,62a)
OCSD=0,∴OCSD,从而ACSD
(2)解:设棱SC上存在一点E,使BE//平面PAC。理由如下:
SD平面PAC,∴DS是平面PAC的一个法向量,
DS=0(22a,0,62a)
CS=(0,22a,62a)
BC=(22a,22a,0)
CE=tCS,则
BE=BC+CE=BC+tCS
=(22a,22a(1t),62at)
BE//平面PAC,∴BEDS=0,
12a2+32a2t=0,解得t=13
∴当SE:EC=2:1时,BEDS
BE不在平面PAC内,∴BE//平面PAC
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