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2022年高考数学浙江10

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（4分）已知数列

$\{a_{n}\}$ 满足

$a_{1}=1$ ，

$a_{n+1}=a_{n}-\dfrac{1}{3}a_{n}^{2}(n\in N^{*})$ ，则(　　)
A．

$2 < 100a_{100} < \dfrac{5}{2}$ B．

$\dfrac{5}{2} < 100a_{100} < 3$ C．

$3 < 100a_{100} < \dfrac{7}{2}$ D．

$\dfrac{7}{2} < 100a_{100} < 4$
分析：分析可知数列

$\{a_{n}\}$ 是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到

${a}_{n}\leqslant \dfrac{3}{n+2}$ ，由此可推得

$100a_{n} < 3$ ，再将原式变形确定下限，可得

$\dfrac{1}{{a}_{n+1}}\leqslant \dfrac{1}{3}n+\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots \ldots +\dfrac{1}{n+1})+1$ ，由此可推得

$100{a}_{100} > \dfrac{5}{2}$ ，综合即可得到答案．
解：

$\because a_{n+1}-a_{n}=-\dfrac{1}{3}a_{n}^{2} < 0$ ，

$\therefore \{a_{n}\}$ 为递减数列，
又

${a}_{n+1}={a}_{n}-\dfrac{1}{3}{{a}_{n}}^{2}\leqslant \dfrac{2}{3}$ ，且

$a_{n}\ne 0$ ，

$\therefore$

$\dfrac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1-\dfrac{1}{3}{a}_{n}\geqslant \dfrac{2}{3} > 0$ ，
又

$a_{1}=1 > 0$ ，则

$a_{n} > 0$ ，

$\therefore$

${a}_{n}-{a}_{n+1}=\dfrac{1}{3}{{a}_{n}}^{2}\geqslant \dfrac{1}{3}{a}_{n}{a}_{n+1}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{{a}_{n+1}}-\dfrac{1}{{a}_{n}}\geqslant \dfrac{1}{3}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{{a}_{n}}\geqslant \dfrac{1}{{a}_{1}}+\dfrac{1}{3}(n-1)=\dfrac{1}{3}n+\dfrac{2}{3}$ ，则

${a}_{n}\leqslant \dfrac{3}{n+2}$ ，

$\therefore$

$100{a}_{100}\leqslant 100\times \dfrac{3}{102} < \dfrac{306}{102}=3$ ；
由

${a}_{n+1}={a}_{n}-\dfrac{1}{3}{{a}_{n}}^{2}$ 得

${a}_{n+1}={a}_{n}(1-\dfrac{1}{3}{a}_{n})$ ，得

$\dfrac{1}{{a}_{n+1}}-\dfrac{1}{{a}_{n}}=\dfrac{1}{3-{a}_{n}}\leqslant \dfrac{1}{3-\dfrac{3}{n+2}}=\dfrac{1}{3}(1+\dfrac{1}{n+1})$ ，
累加可得，

$\dfrac{1}{{a}_{n+1}}\leqslant \dfrac{1}{3}n+\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots \ldots +\dfrac{1}{n+1})+1$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{{a}_{100}}\leqslant 34+\dfrac{1}{3}\times (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots \ldots +\dfrac{1}{100}) < 34+\dfrac{1}{3}\times (\dfrac{1}{2}\times 6+\dfrac{1}{8}\times 93) < 40$ ，

$\therefore$

$100{a}_{100} > 100\times \dfrac{1}{40}=\dfrac{5}{2}$ ；
综上，

$\dfrac{5}{2} < 100{a}_{100} < 3$ ．
故选：

$B$ ．
点评：本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．

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