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2021年高考数学甲卷-理11

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11．（5分）已知

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 是半径为1的球

$O$ 的球面上的三个点，且

$AC\bot BC$ ，

$AC=BC=1$ ，则三棱锥

$O-ABC$ 的体积为(　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{2}}{12}$ B．

$\dfrac{\sqrt{3}}{12}$ C．

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ D．

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
分析：先确定

$\Delta ABC$ 所在的截面圆的圆心

$O_{1}$ 为斜边

$AB$ 的中点，然后在

$\rm{Rt}\Delta ABC$ 和

$\rm{Rt}\Delta AOO1$ 中，利用勾股定理求出

$OO_{1}$ ，再利用锥体的体积公式求解即可．
解：

因为

$AC\bot BC$ ，

$AC=BC=1$ ，
所以底面

$ABC$ 为等腰直角三角形，
所以

$\Delta ABC$ 所在的截面圆的圆心

$O_{1}$ 为斜边

$AB$ 的中点，
所以

$OO_{1}\bot$ 平面

$ABC$ ，
在

$\rm{Rt}\Delta ABC$ 中，

$AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{2}$ ，则

$A{O}_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，
在

$\rm{Rt}\Delta AOO_{1}$ 中，

$O{O}_{1}=\sqrt{O{A}^{2}-A{{O}_{1}}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，
故三棱锥

$O-ABC$ 的体积为

$V=\dfrac{1}{3}\cdot {S}_{\Delta ABC}\cdot O{O}_{1}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 1\times 1\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$ ．
故选：

$A$ ．

点评：本题考查了锥体外接球和锥体体积公式，解题的关键是确定

$\Delta ABC$ 所在圆的圆心的位置，考查了逻辑推理能力、化简运算能力、空间想象能力，属于中档题．

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