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2021年高考数学乙卷-文20

  2022-05-03 08:12:56  

20.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点PC上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.
分析:(1)根据焦点F到准线的距离为2求出p,进而得到抛物线方程,
(2)设出点Q的坐标,按照向量关系得出P点坐标,再代入抛物线方程中,利用基本不等式即可求出最值.
(1)解:由题意知,p=2
y2=4x
(2)由(1)知,抛物线C:y2=4xF(1,0)
设点Q的坐标为(m,n)
QF=(1m,n)
PQ=9QF=(99m,9n)
P点坐标为(10m9,10n)
将点P代入C100n2=40m36
整理得m=100n2+3640=25n2+910
K=nm=10n25n2+9=1025n+9n,当n=\dfrac{3}{5}时取最大值.
故答案为:\dfrac{1}{3}
点评:本题考查抛物线的性质,考察基本不等式求最值,属于中档题.

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