2021年高考数学乙卷-文20 |
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2022-05-03 08:12:56 |
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20.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程; (2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足→PQ=9→QF,求直线OQ斜率的最大值. 分析:(1)根据焦点F到准线的距离为2求出p,进而得到抛物线方程, (2)设出点Q的坐标,按照向量关系得出P点坐标,再代入抛物线方程中,利用基本不等式即可求出最值. (1)解:由题意知,p=2, ∴y2=4x. (2)由(1)知,抛物线C:y2=4x,F(1,0), 设点Q的坐标为(m,n), 则→QF=(1−m,−n), →PQ=9→QF=(9−9m,−9n) ∴P点坐标为(10m−9,10n), 将点P代入C得100n2=40m−36, 整理得m=100n2+3640=25n2+910, ∴K=nm=10n25n2+9=1025n+9n⩽,当n=\dfrac{3}{5}时取最大值. 故答案为:\dfrac{1}{3}. 点评:本题考查抛物线的性质,考察基本不等式求最值,属于中档题.
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