2021年高考数学乙卷-理12 |
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2022-05-03 08:07:51 |
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12.(5分)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=√1.04−1,则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 分析:构造函数f(x)=2ln(1+x)−(√1+4x−1),0<x<1,h(x)=ln(1+2x)−(√1+4x−1),利用导数和函数的单调性即可判断. 解:∵a=2ln1.01=ln1.0201,b=ln1.02, ∴a>b, 令f(x)=2ln(1+x)−(√1+4x−1),0<x<1, 令√1+4x=t,则1<t<√5 ∴x=t2−14, ∴g(t)=2ln(t2+34)−t+1=2ln(t2+3)−t+1−2ln4, ∴g′(t)=4tt2+3−1=4t−t2−3t2+3=−(t−1)(t−3)t2+3>0, ∴g(t)在(1,√5)上单调递增, ∴g(t)>g(1)=2ln4−1+1−2ln4=0, ∴f(x)>0, ∴a>c, 同理令h(x)=ln(1+2x)−(√1+4x−1), 再令√1+4x=t,则1<t<√5 ∴x=t2−14, ∴φ(t)=ln(t2+12)−t+1=ln(t2+1)−t+1−ln2, ∴φ′(t)=2tt2+1−1=−(t−1)2t2+1<0, ∴φ(t)在(1,√5)上单调递减, ∴φ(t)<φ(1)=ln2−1+1−ln2=0, ∴h(x)<0, ∴c>b, ∴a>c>b. 故选:B. 点评:本题考查了不等式的大小比较,导数和函数的单调性和最值的关系,考查了转化思想,属于难题.
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