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2021年高考数学乙卷-理12

  2022-05-03 08:07:51  

12.(5分)设a=2ln1.01b=ln1.02c=1.041,则(  )
A.a<b<c              B.b<c<a              C.b<a<c              D.c<a<b
分析:构造函数f(x)=2ln(1+x)(1+4x1)0<x<1h(x)=ln(1+2x)(1+4x1),利用导数和函数的单调性即可判断.
解:a=2ln1.01=ln1.0201b=ln1.02
a>b
f(x)=2ln(1+x)(1+4x1)0<x<1
1+4x=t,则1<t<5
x=t214
g(t)=2ln(t2+34)t+1=2ln(t2+3)t+12ln4
g(t)=4tt2+31=4tt23t2+3=(t1)(t3)t2+3>0
g(t)(1,5)上单调递增,
g(t)>g(1)=2ln41+12ln4=0
f(x)>0
a>c
同理令h(x)=ln(1+2x)(1+4x1)
再令1+4x=t,则1<t<5
x=t214
φ(t)=ln(t2+12)t+1=ln(t2+1)t+1ln2
φ(t)=2tt2+11=(t1)2t2+1<0
φ(t)(1,5)上单调递减,
φ(t)<φ(1)=ln21+1ln2=0
h(x)<0
c>b
a>c>b
故选:B
点评:本题考查了不等式的大小比较,导数和函数的单调性和最值的关系,考查了转化思想,属于难题.

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