一、复习目标
    理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法、数乘和数量积运算及其性质；理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；掌握空间向量基本定理及其推论；理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．

    理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．

    会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

    二、重点难点
    (这里输入)

    三、特别提示
    (1)空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的，因此，可以利用类比平面向量的方法，解决本节的很多内容．

    (2)用向量方法解决立体几何问题时，关键是一个几何问题向量化的转化过程，从建立基向量，到表示相关向量，到应用向量的有关运算，到结论得出，构成一个非常严密的解(证)题过程，这也代表着立体几何的一个发展趋势．

    (3)运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时，一般步骤为：

    ①建立恰当的空间直角坐标系(例如：底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一个顶点为原点建立空间直角坐标系；底面是菱形的直四棱柱，往往以底面对角线交点为原点建立空间直角坐标系)；

    ②求出相关点的坐标；

    ③写出向量的坐标；

    ④结合公式进行论证，计算；

    ⑤转化为几何结论．

    建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同—点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的垂直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直)，同时要注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系．

    (4)借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算．

    ①平行问题`rArr`向量共线，注意重合；

    ②垂直问题`rArr`向量的数量积为零，注意零向量；

    ③距离问题`rArr`向量的模，注意向量的垂直；

    ④求角问题`rArr`向量的夹角，注意角范围的统一．

    知识梳理

    1、空间向量的有关概念

    (1)把具有大小和方向的量叫做向量，其长度叫做空间向量的模．

    (2)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

    2、空间向量的加法与数乘向量运算的运算律：
    (1)加法交换律：`vec(a)+vec(b)=vec(b)+vec(a)`
    (2)加法结合律：`(vec(a)+vec(b))+vec(c)=vec(a)+(vec(b)+vec(c))

    (3)数乘分配律：`lambda(vec(a)+vec(b))=lambdavec(a)+lambdavec(b)`

    3、共线向量与共面向量
    (1)共线向量定理：对空间任意两个向量`vec(a)、vec(b)(vec(b)!=vec(0))`，`vec(a)"//"vec(b)`的充要条件是存在实数`lambda`，使`vec(a)=lambdavec(b)`．

    推论：如果`l`为经过已知点`A`平行于已知非零向量`vec(a)`的直线，那么，对任一点`O`，点`P`在直线`l`的充要条件是存在实数`t`，满足等式`vec(OP)=vec(OA)+tvec(a)`，其中向量`vec(a)`叫做直线`l`的方向向量．

    (2)共面向量定理：如果两个向量`vec(a)、vec(b)`不共线，则向量`vec(p)`与向量`vec(a)、vec(b)`共面的充要条件是存在实数对`x、y`，使`vec(p)=xvec(a)+yvec(b)`．

    推论：空间一点`P`位于平面`MAB`内的充分必要条件是存在有序数对`x、y`，使`vec(MP)``=xvec(MA)+``yvec(MB)`，或对空间任一定点`O`，有`vec(OP)``=vec(OM)+``xvec(MA)+``yvec(MB)`．

    4、空间向量基本定理：如果三个向量`vec(a)、vec(b)、vec(c)`不共面，那么对空间任一向量`vec(p)`，存在一个唯一有序实数对`x`、`y`、`z`，使`vec(p)=xvec(a)+yvec(b)+zvec(c)`．由此可知，如果三个向量`vec(a)`、`vec(b)`、`vec(c)`不共面，那么所有空间问量所组成的集合就是`{vec(p)|``vec(p)=xvec(a)+yvec(b)+zvec(c)，x、y、zinR}`，这个集合可看作是由向量`vec(a)`、`vec(b)`、`vec(c)`生成的，把`{vec(a)、vec(b)、vec(c)}`叫做空间的一个基底，`vec(a)`、`vec(b)`、`vec(c)`都叫做基向量．

    推论：设`O、A、B、C`是不共面的四点，则对空间任一点`P`，都存在唯一有序实数对`x、y、z`，使`vec(OP)``=xvec(OA)+``yvec(OB)+``zvec(OC)`．

    5、两个向量的数量积
    (1)已知空间向量`vec(a)、vec(b)`，则`|vec(a)||vec(b)|cos<vec(a)，vec(b)>` 叫做向量`vec(a)，vec(b)`的数量积，记作`vec(a)·vec(b)`，即`vec(a)·vec(b)=|vec(a)||vec(b)|cos<vec(a)，vec(b)>`．

    (2)空间向量数量积的性质：

    ①`vec(a)·vec(e)=|vec(a)|cos<vec(a)，vec(e)>` 

    ②`vec(a)_|_vec(b)hArrvec(a)·vec(b)=0` 

    ③`|vec(a)|^2=vec(a)·vec(a)`

    (3)空间向量数量积的运算律：

    ①`(lambdavec(a))·vec(b)=lambda(vec(a)·vec(b))` 

    ②`vec(a)·vec(b)=vec(b)·vec(a)`(交换律)

    ③`vec(a)·(vec(b)+vec(c))=vec(a)·vec(b)+vec(a)·vec(c)`(分配律)

    6、空间直角坐标系

    (1)如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度为1，则这个基底叫做单位正交基底．

    (2)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向`x`轴的正方向，食指指向`y`轴的正方向，如果中指能指向`z`轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

    (3)如图，`vec(i)、vec(j)、vec(k)`为坐标向量(单位向量、正交基底)，对于空间任一点`A`，对应一个向量`vec(OA)`，于是存在唯一的唯一有序实数对`x`、`y`、`z`，使`vec(OA)=xvec(i)+yvec(j)+zvec(k)`，这个数组`(x、y、z)`叫做`A`点在空间直角坐标系下的坐标，记作`A(x、y、z)`．   

7、向量的直角坐标运算     设`vec(a)=(a_1，a_2，a_3)`，`vec(b)=(b_1，b_2，b_3)`，     则`vec(a)+vec(b)=(a_1+b_1，a_2+b_2，a_3+b_3)`；     `vec(a)-vec(b)=(a_1-b_1，a_2-b_2，a_3-b_3)`     `lambdavec(a)=(lambdaa_1，lambdaa_2，lambdaa_3)`     `vec(a)·vec(b)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3`     `vec(a)"//"vec(b)hArra_1=lambdab_1，a_2=lambdab_2，a_3=lambdab_3(lambdainR)`     `vec(a)_|_vec(b)hArra_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0`     设`A(x_1，y_1，z_1)`，`B(x_2，y_2，z_2)`，则     `vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)=(x_2，y_2，z_2)-(x_1，y_1，z_1)`     `=(x_2-x_1，y_2-y_1，z_2-z_1)`

    8、在空间直角坐标系中，已知`A(x_1，y_1，z_1)`，`B(x_2，y_2，z_2)`，

    则`d_(AB)=|AB|=sqrt(vec(AB)·vec(AB))``=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2)`，

    其中`d_(AB)`表示`A`与`B`两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式．

    应用举例
    一、应用特点
    1、运用空间向量的坐标运算解决空间中的垂直问题
    2、运用向量平行的充要条件解决立体几何中的平行问题
    3、运用向量的坐标运算解决立体几何中的角和距离问题

    二、案例示范
    回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范

    1、已知正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`，`P`为底面对角线`BD`上一点且`BP=3PD`，`Q`为棱`DD_1`的中点,试证：`PQ_|_`平面`A_1QC_1`

提示	示范
先建立空间直角坐标系，再证明向量`vec(PQ)`与平面`A_1QC_1`中的某两向量垂直
证明:如图，建立空间直角坐标系`D-xyz，设A A_1=1`，             则`A_1(1，0，1)`、`C_1(0，1，1)`、`Q(0，0，1/2)`、`P(1/4，1/4，0)`     `:.vec(A_1C_1)=(-1，1，0)，vec(A_1Q)=(-1，0，-1/2)`，`vec(PQ)=(-1/4，-1/4，1/2)`     `.:vec(PQ)·vec(A_1C_1)=(-1)xx(-1/4)+1xx(-1/4)+0xx1/2=0`     `vec(PQ)·vec(A_1Q)=(-1)xx(-1/4)+0xx(-1/4)+(-1/2)xx1/2=0`     `:.vec(PQ)_|_vec(A_1C_1)`，`vec(PQ)_|_vec(A_1Q)`     `:.vec(PQ)_|_`平面`A_1QC_1`     `:.PQ_|_`平面`A_1QC_1`     评注:本类型题目就是建立空间直角坐标系，利用点的坐标求出向量的坐标，利用`vec(a)_|_vec(b)``hArr``vec(a)·vec(b)=0``hArr``x_1x_2+y_1y_2``+z_1z_2``=0`来证明线线垂直或线面垂直．

    2、如图，在四棱锥`P-ABCD`中，底面`ABCD`是正方形，侧棱`PD_|_底面ABCD`，`PD=DC`，`E是PC`的中点，作`EF``_|_``PB`交`PB于点F`      

(1)求证：`PA"//"`平面`EDB`     (2)求证：`PB_|_`平面`EFD`     (3)求二面角`C-PB-D`的大小

提示	示范
本题主要依据线面平行与垂直以及二面角等基础知识，由`D`出发的三条射线两两垂直，使人联想到建系求解 ．
解:如图所示，建立空间直角坐标系，`D`为坐标原点，设`DC=a`             (1)证明：连结`AC`交`BD`于`G`，连结`EG`     依题意得`A(a，0，0)，P(0，0，a)，E(0，a/2，a/2)`     `.:`底面`ABCD`是正方形     `:.G`是此正方形的中心     `:.`点`G`的坐标为`(a/2，a/2，0)`     `:.vec(PA)=(a，0，-a)`，`vec(EG)=(a/2，0，-a/2)`     `.:vec(PA)=2vec(EG)`，这表明`PA"//"EG`     而`EGsub`平面`EDB`且`PA!sub`平面`EDB`     `.:PA"//"`平面`EDB`          (2)证明：依题意得`B(a，a，0)，vec(PB)=(a，a，-a)`     又`vec(DE)=(0，a/2，a/2)`且`vec(PB)·vec(DE)=0+a^2/2-a^2/2=0`     `:.PB_|_DE`     由已知`EF_|_PB`，且`EFnnDE=E`     `:.PB_|_平面EFD`             (3)设点`F`的坐标为`(x_0，y_0，z_0)，vec(PF)=lambdavec(PB)`     `则(x_0，y_0，z_0-a)=lambda(a，a，-a)`     从而`x_0=lambdaa，y_0=lambdaa，z_0=(1-lambda)a`     `.:vec(FE)=(-x_0，a/2-y_0，a/2-z_0)=(-lambdaa，(1/2-lambda)a，(lambda-1/2)a)`     由条件`EF_|_PB`，知`vec(FE)·vec(PB)=0`,即`-lambdaa^2+(1/2-lambda)a^2-(lambda-1/2)a^2=0`     解得`lambda=1/3`     `:.`点`F`的坐标为`(a/3，a/3，2a/3)`，且`vec(FE)=(-a/3，a/6，-a/6)`，`vec(FD)=(-a/3，-a/3，-2a/3)`     `:.``vec(PB)·vec(FD)=-a^2/3-a^2/3+2a^2/3=0`     即`PB_|_FD`     故`/_EFD`是二面角`C-PB-D`的平面角     `.:``vec(FE)·vec(FD)=a^2/9-a^2/18+a^2/9=a^2/6`，且`|vec(FE)|=sqrt(a^2/9+a^2/36+a^2/36)=sqrt(6)/6a，|vec(FD)|=sqrt(a^2/9+a^2/9+4a^2/9)=sqrt(6)/3a，     `:.``cos/_EFD=(vec(FE)·vec(FD))/(|vec(FE)||vec(FD)|)=(a^2/6)/(sqrt(6)/6a·sqrt(6)/3a)=1/2`     `:.``/_EFD=60°`     `:.`二面角`C-PB-D`的大小为`60°`       评注:(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量；     (2)证明线面平行的方法：     ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；     ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；     ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量；          (3)证明面面平行的方法：     ①转化为线线平行、线面平行处理；     ②证明这两个平面的法向量是共线向量；          (4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直；     (5)证明线面垂直的方法：     ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；     ②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直；          (6)证明面面垂直的方法：     ①转化为线线垂直、线面垂直处理；     ②证明两个平面的法向量互相垂直．

    3、(06·湖北)如图，在棱长为`1`的正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`P`是侧棱`C C_1`上的一点，`CP=m`
    (1)试确定`m`，使直线`AP`与平面`BDDB_1`所成角的正切值为`3sqrt2`；
    (2)在线段`A_1C_1`上是否存在一个定点`Q`，使得对任意的`m`，`D_1Q`在平面`APD_1`上的射影垂直于`AP`，并证明你的结论．

提示	示范
本题是线面关系及空间向量的应用，由于正方体有很好的性质，可以建立空间直角坐标系来求解．
解:(1)如图，建立空间直角坐标系，则`A(1，0，0)`，`B(1，1，0)`，`P(0，1，m)`，`C(0，1，0)`，`D(0`，`0`，`0)`，`B_1(1，1，1 )`，`D_1(0，0，1)`     `:.vec(BD)=(-1，-1，0)，vec(BB_1)=(0，0，1)`，     `vec(AP)=(-1，1，m)，vec(AC)=(-1，1，0)`     又由`vec(AC)·vec(BD)=0`，`vec(AC)·vec(BB_1)=0`得`vec(AC)`为平面`BDDB_1`的一个法向量     设`AP`与平面`BDDB_1`所成的角为`theta`     则`sintheta=cos(pi/2-theta)=|vec(AP)·vec(AC)|/(|vec(AP)||vec(AC)|)=2/(sqrt2·sqrt(2+m^2))`     依题意得`2/(sqrt2·sqrt(2+m^2))=(3sqrt2)/sqrt(1+(3sqrt2)^2)     解得`m=1/3`     `:.`当`m=1/3`时，直线`AP`与平面`BDDB_1`所成的角正切值为`3sqrt2`            (2)若在`A_1C_1上存在这样的点Q`，设此点的横坐标为`x`，则`Q(x，1-x，1)`，`vec(D_1Q)=(x，1-x，0)`     依题意，对任意的`m`要使`D_1Q`在平面`APD_1`上的射影垂直于`AP`     等价于`D_1Q``_|_``AP``hArr``vec(AP)``·vec(D_1Q)``=0``hArr``-x+(1-x)=0``hArr``x=``1/2`     即`Q`为`A_1C_1`的中点时，满足题设的要求．               评注:求夹角和距离问题是向量的应用的主流，在垂直关系密集的几何图形中，常常建立空间直角坐标系求解， 这也是高考考题的常见题型．

    1、正四棱柱`ABCD-A_1B_1C_1D_1`，`AB=1`，`A A_1=2`，点`E`为`C C_1`的中点，点`F`是`BD_1`的中点

(1)求证：`EF`为`BD_1`与`C C_1`的公垂线 (2)求点`D_1`到平面`BDE`的距离

提示	示范
注意利用公垂线的定义证明；求点`D_1`到平面`BDE`的距离 可以使用等积变换．
解:(1)证明：方法一：取`BD`中点`M`，连接`MC、FM`              `.:F`为`BD_1`的中点     `:.``FM"//"D_1D`且`FM=1/2D_1D`     又`EC=1/2C C_1`且`EC_|_MC`     `:.`四边形`EFMC`是矩形     `:.EF_|_C C_1`     又`CM_|_`平面`DBD_1`     `:.EF_|_平面DBD_1`     `.:BD_1su`b平面`DBD_1`     `:.EF_|_BD_1`     `:.EF`为`BD_1`与`C C_1`的公垂线     方法二：建立空间直角坐标系，`D`为坐标原点 依题意得`B(0，1，0)、D_1(1，0，2)、F(1/2，1/2，1)`、 `C_1(0，0，2)、E(0，0，1)` `:.vec(EF)=(1/2，1/2，0)，vec(C C_1)=(0，0，2)，vec(B D_1)=(1，-1，2)` `:.vec(EF)·vec(C C_1)=0，vec(EF)·vec(BD_1)=0` `:.EF_|_C C_1，EF_|_BD_1` `:.EF`为`BD_1`与`C C_1`的公垂线 　 (2)连结`ED_1`，有`V_(E-DBD_1)=V_(D_1-DBE) 由(1)知`EF_|_平面DBD_1` 设点`D_1`到平面`BDE`的距离是`d`， 则`S_(△DBE)·d=S_(△DBD_1)·EF` `.:A A_1=2，AB=1` `:.BD=BE=ED=sqrt2，EF=sqrt2/2` `:.S_(△DBD_1)=1/2·sqrt3/2·(sqrt2)^2=sqrt3/2` `:.d=(sqrt2xxsqrt2/2)/(sqrt3/2)=(2sqrt3)/3` `:.`点`D_1`到平面`BDE`的距离为`(2sqrt3)/3`          评注:本题还可以求出平面`BDE`的法向量，利用向量求点`D_1`到平面`BDE`的距离．

    2、已知正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`E、F`分别是`A_1D_1、A_1C_1`的中点，求      

(1)异面直线`AE`与`CF`所成角的余弦值；     (2)二面角`C-AE-F`的余弦值的大小

提示	示范
二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角．
解:不妨设正方形棱长为2，分别以`DA、DC、DD_1`所在直线为`x`轴、`y`轴、`z`轴建立如图所示空间直角坐标系     则`A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，A(1，1，2)`     (1)由`vec(AE)=(-1，0，2)，vec(CF)=(1，-1，2)`得`|vec(AE)|=sqrt(5)`，`|vec(CF)|=sqrt(6)`，`vec(AE)·vec(CF)=-1+0+4=3`     又`vec(AE)·vec(CF)=|vec(AE)|·|vec(CF)|·cos<vec(AE)，vec(CF)>`=`sqrt(30)cos<vec(AE)，vec(CF)>`           `:.``cos<vec(AE)，vec(CF)>`=`sqrt(30)/10`，即所求值为`sqrt(30)/10`          (2)`.:``vec(EF)=(0，1，0)`，     `.:``vec(AE)·vec(EF)=(-1，0，2)·(0，1，0)=0`     `.:``AE_|_EF`，过点`C`作`CM_|_A`E于`M`，     则二面角`C-AE-F`的大小等于`<vec(EF)，vec(MC)>`     `.:M在AE上`     `.:`设`vec(AN)=mvec(AE)     则`vec(AM)=(-2，2，0)-(-m，0，2m)=(m-2，2，-2m)`     `.:``MC_|_AE`           `.:``vec(MC)·vec(AE)=(m-2，2，-2m)·(-1，0，2)=0`     `.:``m=2/5`     `.:``vec(MC)=(-8/5，2，-4/5)，|vec(MC)|=(6sqrt(5))/5`     `:.``vec(EF)·vec(MC)=(0，1，0)·(-8/5，2，-4/5)=0+2+0=2`     又`vec(EF)·vec(MC)=|vec(EF)|·|vec(MC)|·cos<vec(EF)，vec(MC)>`=`(6sqrt(5))/5cos<vec(EF)，vec(MC)>`     `:.``cos<vec(EF)，vec(MC)>`=`sqrt(5)/3`     `:.`二面角`C-AE-F`的余弦值的大小为`sqrt(5)/3`       评注:(1)两条异面直线所成的角`theta`可以借助这两条直线的方向向量的夹角`varphi`求得，即`costheta=|cosvarphi|`     (2)直线与平面所成的角`theta`主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角`varphi`求得，即`sintheta=|cosvarphi|`或`costheta=sinvarphi`     (3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角．

    拓展探究
    1、如图，在棱长为1的正方形`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`E`、`F`分别是`D_1D、BD`的中点，`G`在棱`CD`上，且`CG=1/4CD`，应用空间向量的运算办法解决下列问题

(1)求证：`EF_|_B_1C`     (2)求`EF`与`C_1G`所成的角的余弦值

提示	示范
证明垂直问题的向量方法就是运用两向量的数量积等于零，首先要通过建立适当的坐标系，写出向量坐标．
解:如图，建立空间直角坐标系`D-xyz`，则`E(0，0，1/2)`、`F(1/2，1/2，0)`、`C(0，1，0)`、`C_1(0，1，1)`、`B_1(1，1，1)`、`G(0，3/4，0)`        (1)证明：`vec(EF)=(1/2，1/2，-1/2)`，`vec(B_1C)=(-1，0，-1)`     `:.vec(EF)·vec(B_1C)=1/2xx(-1)+1/2xx0+(-1/2)xx(-1)=0`     `:.vec(EF)_|_vec(B_1C)`     `:.EF_|_B_1C` 　     (2)`vec(EF)=(1/2，1/2，-1/2)`，`vec(C_1G)=(0，-1/4，-1)`     `:.|vec(EF)|=sqrt((1/2)^2+(1/2)^2+(-1/2)^2)=sqrt3/2`，`|vec(C_1G)|=sqrt(0^2+(-1/4)^2+(-1)^2)=sqrt17/4`     且`vec(EF)·vec(C_1G)=1/2xx0+1/2xx(-1/4)+(-1/2)xx(-1)=3/8`     `:.cos<vec(EF)，vec(C_1G)> =(vec(EF)·vec(C_1G))/(|vec(EF)||vec(C_1G)|)=sqrt51/17`     `:.EF`与`C_1G`所成的角的余弦值为`sqrt51/17` 　     评注:熟记向量垂直的充要条件`vec(a)_|_vec(b)hArra_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0`，以及向量夹角公式`cos<vec(a)，vec(b)> =(vec(a)·vec(b))/(|vec(a)||vec(b)|)`．

    学习感悟
    1、在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量平行，并且我们所说的向量可以平移，因而不能完全按照它们所在直线的平行性共面关系来确定向量关系．

    2、共线与共面向量不具有传递性．

    3、应用向量基本定理和向量数量积可以用于解决向量相等、垂直、夹角等问题．

    用向量解决立体几何的问题，关键是要找到几何问题的向量表示，然后将题设条件向量化，用已知向量表示出未知向量，从而转化为已知向量间的问题．根据空间向量基本定理，如果已知向量中有三个不共面的，则可以由此构成一个空间基底，其它任何向量都可以用基向量唯一表示出来，从而进行运算 ．线共点、线共面、线线垂直、两异面直线所成的角、两点间的距离等等，都可由此解决．

    4、在应用向量数量积求异面直线所成角或线面角、二面角等问题时应结合实际，合理取舍和转化，避免出现所求值与角的范围不一致的现象．

    5、(1)在空间图形中，如果线段较多，关系也较为复杂(如平行、垂直、角和距离等均有涉及)，此时如何入手，是用传统方法解决，还是用向量方法解决，一般较难作出判断，而且在较为综合的问题中，只用某一种方法，有时也难以奏效，常常需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到理想效果．

    (2)图形中如果存在三条两两垂直的线段，则可考虑以它们所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设法确定点、向量的坐标，然后通过向量的坐标，利用向量坐标运算解决有关问题 ．解题中应注意逻辑推导和向量运算的有机结合．

    (3)利用向量的坐标解决立体几何中的平行、垂直、求解、求距离等问题，关键是建立正确的空间直角坐标系，难点是正确表示已知点的坐标；对空间任意一点`A`，求其坐标的一般方法：过`A`作`z`轴的平行线交平面`xOy`于`B`，过`B`分别作`x、y`轴的平行线，分别交`y、x`轴于`C、D`，则由`vec(OD)`，`vec(OC)`，`vec(BA)`的长度和方向便可求得点`A`的坐标．