2005年

解答题

17．（本小题满分12分）

  已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根

  为x1=3, x2=4.

    （1）求函数f(x)的解析式；

    （2）设k>1，解关于x的不等式；

解答

18．（本小题满分12分）

已知向量.

是否存在实数

若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

解答

19．（本小题满分12分）

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面

朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或

在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.

 （1）求的取值范围；

 （2）求的数学期望E. 

解答

20．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

   （1）证明：D1E⊥A1D；

   （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

   （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.

      解答

21．（本小题满分12分）

已知数列

 （1）证明

 （2）求数列的通项公式an.

解答

22．（本小题满分14分）

  设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，

  过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

 （1）求△APB的重心G的轨迹方程.

 （2）证明∠PFA=∠PFB.

解答

2006

17．(本小题满分12分)

  已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-与x=1时都取得极值．

  (1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间；

  (2)若对x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c²恒成立，求c的取值范围．

解答

18．(本小题满分12分)

    某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每

次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红

球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．令ξ表示甲、

乙两人摸球后获得的奖金总额．求

   (1)ξ的分布列；           (2)ξ的数学期望．

解答

19．(本小题满分12分)

     如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的

   点，线段MN经过△ABC的中心G.设∠MGA=α(≤α≤)．

   (1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S₁与S₂)表示为α的函数；

   (2)求y=的最大值与最小值．

解答

20．(本小题满分12分)

   如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，

且AD＝，BD＝CD＝1．另一个侧面ABC是正三角形．

  (1)求证：AD⊥BC；

  (2)求二面角B-AC-D的大小；

  (3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角?若存在,确定点E的位置；

  若不存在，说明理由．

   解答

21．(本小题满分12分)

   如图，椭圆Q:=1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，过点F的一动直线m绕

点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点．

  (1)求点P的轨迹H的方程；

      (2)若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤).确定θ的值，使

原点距椭圆Q的右准线l最远．此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到

什么位置时，三角形ABD的面积最大?

解答

22.(本小题满分14分)

已知数列{a_n}满足：a₁=,且a_n=(n≥2,n∈N^*).

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)证明：对一切正整数n，不等式a₁·a₂·…·a_n＜2·n!恒成立.

解答

2007年

解答题

17．（本小题满分12分）

已知函数在区间内连续，且．

（1）求实数和的值；

（2）解不等式．

解答

18．（本小题满分12分）

如图，函数的图象与轴交于点，

且在该点处切线的斜率为．

（1）求和的值；                             

（2）已知点，点是该函数图象上一点，

点是的中点，当，时，求的值．

解答

19．（本小题满分12分）

某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次

烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根

据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率

依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依

次为，，．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．

解答

20．（本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．

已知，，，，．

（1）设点是的中点，证明：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求此几何体的体积．

解答

21．（本小题满分12分）

设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，

使得．

（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

（2）过点作直线双曲线的右支于两点，

试确定的范围，使，其中点为坐标原点．

解答

22．（本小题满分14分）

设正整数数列满足：，且对于任何，有．

（1）求，；

（3）求数列的通项．

解答